Физика 9 класс учебник Перышкин, Гутник - страница 155

   1. Опыт, изображённый на рисунке 107 (с пружинным маятником)
   Цель: исследовать зависимость координаты колеблющегося пружинного маятника от времени и подтвердить, что его малые свободные колебания являются гармоническими (происходят по закону синуса или косинуса).
   Порядок выполнения:
1. В качестве груза используют небольшой массивный сосуд (например, воронку) с маленьким отверстием снизу, наполненный песком.
2. Сосуд подвешивают на пружине, образуя пружинный маятник.
3. Под маятником размещают длинную бумажную ленту, которая может равномерно перемещаться в направлении, перпендикулярном плоскости колебаний маятника.
4. Маятник приводят в колебательное движение (отклоняют от положения равновесия и отпускают).
5. Одновременно начинают равномерно тянуть бумажную ленту.
6. Во время колебаний песок из сосуда сыплется на ленту, оставляя на ней след (волнообразную дорожку).
   Результаты:
   На бумажной ленте формируется кривая линия (график), отражающая изменение координаты маятника с течением времени.
   Полученный график имеет вид косинусоиды (или синусоиды), что доказывает гармонический характер колебаний.
   Координата колеблющегося тела изменяется по закону косинуса (или синуса):
   x = A cos(ωt + φ₀) или x = A sin(ωt + φ₀), где:
   A — амплитуда колебаний,
   ω — циклическая частота,
   φ₀ — начальная фаза.
   Опыт подтверждает, что возвращающая сила пропорциональна смещению и направлена противоположно ему (F = –kx), где k — жёсткость пружины, x — смещение.

   2. Опыт, изображённый на рисунке 109 (с нитяным маятником)
   Цель: получить график зависимости координаты математического (нитяного) маятника от времени и доказать, что его малые колебания также являются гармоническими.
   Порядок выполнения:
1. Берут нитяной маятник (материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити).
2. К маятнику прикрепляют пишущий элемент (например, кисть, карандаш или маркер).
3. Под маятником размещают длинную бумажную ленту, которая может равномерно перемещаться.
4. Маятник отклоняют от положения равновесия и отпускают, приводя в колебательное движение.
5. Одновременно начинают равномерно перемещать бумажную ленту.
6. Пишущий элемент оставляет на ленте след, отражающий изменение координаты маятника во времени.
   Результаты:
   На бумажной ленте также формируется кривая линия (график) в виде синусоиды/косинусоиды.
   Это подтверждает, что малые колебания нитяного маятника являются гармоническими и происходят по закону синуса или косинуса.
   Для математического маятника период колебаний определяется формулой: \begin{equation}\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{~g}}}\end{equation}, где:
   l — длина нити,
   g — ускорение свободного падения.
   Опыт показывает, что при малых амплитудах и незначительном трении колебания маятника строго подчиняются законам гармонических колебаний.

   Вывод: оба опыта демонстрируют, что колебания (как пружинного, так и нитяного маятника) при определённых условиях (малые амплитуды, малое трение) являются гармоническими и их координата изменяется по синусоидальному (или косинусоидальному) закону. Графически это выражается в виде синусоиды/косинусоиды, отражающей зависимость координаты от времени.

   ОА = A (амплитуда) — характеризует «размах» колебаний (как далеко уходит маятник от равновесия).
   ОТ = T (период) — характеризует «темп» колебаний (как быстро маятник проходит полный цикл).

   Колебания, характеризующиеся периодическим изменением некоторой физической величины (такой как положение, скорость или ускорение) в соответствии с синусоидальной или косинусоидальной функцией времени, называются гармоническими. Их математическое представление осуществляется посредством следующего уравнения:

   x(t) = A · cos(ωt + φ₀) или x(t) = A · sin(ωt + φ₀),

   где:
   x(t) — смещение в момент времени t;
   A — амплитуда колебаний (максимальное смещение);
   ω — циклическая частота (ω = 2π/T, где T — период колебаний);
   t — время;
   φ₀ — начальная фаза колебаний.

   Модель математического маятника представляет собой упрощённую систему, включающую:
• материальную точку (тело с настолько малыми размерами, что ими можно пренебречь), подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити;
• точку подвеса, вокруг которой тело совершает колебательные движения под действием силы тяжести.

   Основные характеристики модели:
• масса нити настолько мала по сравнению с массой груза, что ею можно пренебречь;
• нить не подвержена растяжению;
• сопротивление воздуха не принимается во внимание;
• колебания происходят в вертикальной плоскости под влиянием гравитационного поля.

   Формула периода колебаний математического маятника выглядит следующим образом:
   Уравнение периода колебаний математического маятника:
   \begin{equation}\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{~g}}}\end{equation}, где:
   l — длина нити;
   g — ускорение свободного падения.

Реальный нитяной маятник будет выполнять колебания, близкие к гармоническим, если соблюдаются следующие условия:
• амплитуды колебаний должны быть малыми (угол отклонения α невелик, обычно не превышает 5–10°), поскольку при небольших углах sin(α) приблизительно равен самому углу в радианах, что облегчает математическое описание движения;
• трение и сопротивление воздуха должны быть минимальными или отсутствовать, чтобы не оказывать значительного влияния на колебания;
• нить должна быть достаточно прочной и не растягиваться во время колебаний;
• размеры груза можно считать пренебрежимо малыми по сравнению с длиной нити, то есть груз рассматривается как материальная точка.

   При гармонических колебаниях:
   Возвращающая сила (F):
• всегда направлена к положению равновесия;
• пропорциональна смещению тела (F = –kx, где k — коэффициент жёсткости, x — смещение);
• достигает максимума в крайних точках (где x = ±A) и равна нулю в положении равновесия (x = 0).
   Ускорение (a):
• также направлено к положению равновесия и связано с силой вторым законом Ньютона (F = ma);
• изменяется по гармоническому закону (a(t) = –ω²x(t));
• максимально в крайних точках (где смещение максимально) и равно нулю в положении равновесия;
• всегда противоположно смещению (если тело смещено вправо, ускорение направлено влево — и наоборот).
   Скорость (υ):
• максимальна при прохождении через положение равновесия (где смещение x = 0), так как тело «пролетает» эту точку с наибольшей скоростью;
• равна нулю в крайних точках (где тело на мгновение останавливается перед изменением направления движения);
• изменяется по гармоническому закону, смещённому по фазе относительно смещения (если x описывается косинусом, то υ — синусом, и наоборот);
• направление скорости определяет направление движения тела (к равновесию или от него).

   Итог
   Все три величины (F, a, v) изменяются периодически, но с разным фазовым сдвигом:
• сила и ускорение «в фазе» со смещением (максимумы совпадают);
• скорость сдвинута по фазе на π/2 (максимумы скорости соответствуют нулевым значениям смещения).

   Начальная энергия маятника была задана его отклонением от точки равновесия и последующим освобождением.
   Следствием увеличения этой начальной энергии является рост амплитуды колебаний, что проявляется в увеличении максимального значения координаты на графике.

а) Частота малых собственных колебаний математического маятника
    Формула для периода колебаний математического маятника:
    \begin{equation}\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{~g}}}\end{equation}, где l — длина нити, g — ускорение свободного падения.
    Частота \begin{equation}v=\frac{1}{\mathrm{~T}}=\frac{1}{2 \pi \sqrt{\frac{1}{\mathrm{~g}}}}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}\end{equation}
    Из формулы видно, что частота ν обратно пропорциональна квадратному корню из длины нити (ν∼1/l), а не самой длине нити.

б) Квадрат периода малых собственных колебаний пружинного маятника
    Формула для периода колебаний пружинного маятника:
    \begin{equation}\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{k}}}\end{equation}, где m — масса груза, k — жёсткость пружины.
    Возведём обе части в квадрат: T² = 4π²m/k.
    Из формулы видно, что квадрат периода T² прямо пропорционален массе груза m (при постоянной жёсткости пружины k).

   Амплитуда (A): Определяется как наибольшее смещение от точки равновесия. Согласно представленному графику, максимальное значение координаты x составляет 0,06 метра. Следовательно, амплитуда колебаний равна 0,06 м.
   Период (T): Представляет собой продолжительность одного полного цикла колебательного движения. Анализ графика показывает, что за интервал времени в 1 секунду происходит одно полное колебание (точка возвращается в исходное состояние с той же скоростью и направлением). Таким образом, период колебаний составляет 1 секунду.
   Частота (ν): Является величиной, обратной периоду, и характеризует количество полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Расчет производится по формуле v = 1/T. Подставляя значение периода, получаем: v = 1/1 c = 1 Гц.

   Формула для периода колебаний математического маятника:
   \begin{equation}\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{~g}}}\end{equation}
   Пусть начальный период \begin{equation}T_1=2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}\end{equation}, а новый период \begin{equation}T_2=2 \pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}\end{equation}
   По условию, T₂ = 2T₁. Подставим формулы периодов:
   \begin{equation}2 \pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}=2 \cdot 2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}\end{equation}
   Сократим 2π и \begin{equation}\sqrt{g}\end{equation} с обеих сторон:
   \begin{equation}\sqrt{l_2}=2 \sqrt{l_1}\end{equation}
   Возведём обе части в квадрат:
   \begin{equation}l_2=\left(2 \sqrt{l_1}\right)^2=4 l_1\end{equation}

   Ответ: Длину нити нужно увеличить в 4 раза.

   Формула для периода колебаний пружинного маятника:
   \begin{equation}\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{k}}},\end{equation}
   Пусть начальный период \begin{equation}T_1=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}\end{equation}, а новый период \begin{equation}T_2=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}\end{equation}
   По условию, T₂ = T₁/2. Подставим формулы периодов:
   \begin{equation}2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}=\frac{1}{2} \cdot 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}\end{equation}
   Сократим 2π и \begin{equation}\sqrt{m}\end{equation} с обеих сторон:
   \begin{equation}\frac{1}{\sqrt{k_2}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{k_1}}\end{equation}
   Перевернём дроби для удобства:
   \begin{equation}\sqrt{k_2}=2 \sqrt{k_1}\end{equation}
   Возведём обе части в квадрат:
   \begin{equation}k_2=\left(2 \sqrt{k_1}\right)^2=4 k_1\end{equation}

   Ответ: Жёсткость второй пружины в 4 раза больше жёсткости первой пружины.