Алгебра 9 класс учебник Макарычев, Миндюк ответы – номер 631

1/1 · 2 + 1/2 · 3 + 1/3 · 4 + ... + 1/n(n + 1)

Sn = n/n + 1
т.е. 1/1 · 2 + 1/2 · 3 + 1/3 · 4 + … + 1/n(n + 1) = n/n + 1

n = 1
1/1 · 2 = 1/1 + 1
1/2 = 1/2 – верно

Предположим, что формула верна при n = k, т.е.
1/1 · 2 + 1/2 · 3 + 1/3 · 4 + … + 1/k(k + 1) = k/k + 1

Докажем, что она верна при любом натуральном n = k + 1
1/1 · 2 + 1/2 · 3 + 1/3 · 4 + … + 1/k(k + 1) = k/(k + 1)(k + 2) = k + 1/k + 1 + 1 = k + 1/k + 2

1/1 · 2 + 1/2 · 3 + 1/3 · 4 + … + 1/k(k + 1) + 1/(k + 1)(k + 2) = k/k + 1 + 1/(k + 1)(k + 2) = k(k + 2) + 1/(k + 1)(k + 2) = $$\frac{k^2 + 2k + 1}{(k + 1)(k + 2)}$$ = $$\frac{(k + 1)^2}{(k + 1)(k + 2)}$$ = k + 1/k + 2 – верно