Алгебра 9 класс учебник Макарычев, Миндюк ответы – номер 243

а) (х + 2/х – 4)² + 16(х – 4/х + 2)² = 17

Замена: (х + 2/х – 4)² = t
t + 16/t = 17 | · t

ОДЗ:
t ≠ 0
t² + 16 = 17t
t² – 17t + 16 = 0

По теореме Виета

t₁ = 1

(х + 2/х − 4)² = 1

(х + 2/х − 4)² − 1 = 0

(х + 2/х − 4 − 1)(х + 2/х − 4 + 1) = 0

х + 2/х − 4 − 1 = 0       х + 2/х − 4 + 1 = 0

х + 2 – (х – 4) = 0     х + 2 + х – 4 = 0
х + 2 – х + 4 = 0       2х – 2 = 0
6 = 0 – неверно       2х = 2
                                    х = 1

t₂ = 16

(х + 2/х − 4)² = 16

(х + 2/х − 4)² − 16 = 0

(х + 2/х − 4 − 4)(х + 2/х − 4 + 4) = 0

х + 2/х − 4 − 4 = 0          х + 2/х − 4 + 4 = 0

х + 2 – 4(х – 4) = 0      х + 2 + 4(х – 4) = 0
х + 2 – 4х + 16 = 0      х + 2 + 4х – 16 = 0
−3х + 18 = 0                5х – 14 = 0
−3х = −18                    5х = 14
х = 6                              х = 2,8

Ответ: х = 1; х = 2,8; х = 6

б) (х + 1/х – 3)² + 18(х – 3/х + 1)² = 11

Замена: (х + 1/х – 3)² = t

t + 18/t = 11 | · t

ОДЗ: t ≠ 0
t² + 18 = 11t
t² – 11t + 18 = 0

По теореме Виета

t₁ = 2

(х + 1/х − 3)² = 2

(х + 1/х − 3)² − 2 = 0

(х + 1/х − 3 − $$\sqrt{2}$$)(х + 1/х − 3 + $$\sqrt{2}$$) = 0

х + 1/х − 3 − $$\sqrt{2}$$ = 0                х + 1/х − 3 + $$\sqrt{2}$$ = 0

х + 1 − $$\sqrt{2}$$(х − 3) = 0           х + 1 + $$\sqrt{2}$$(х − 3) = 0

х + 1 − $$\sqrt{2}$$х + 3$$\sqrt{2}$$ = 0        х + 1 + $$\sqrt{2}$$х − 3$$\sqrt{2}$$ = 0

(х − $$\sqrt{2}$$х) + 1 + 3$$\sqrt{2}$$ = 0      (х + $$\sqrt{2}$$х) + 1 − 3$$\sqrt{2}$$ = 0

х(1 − $$\sqrt{2}$$) = −1 − 3$$\sqrt{2}$$          х(1 + $$\sqrt{2}$$) = −1 + 3$$\sqrt{2}$$

х = $$\frac{-1 - 3 \sqrt{2}}{1 -\sqrt{2}}$$                       х = $$\frac{-1 + 3 \sqrt{2}}{1 +\sqrt{2}}$$

t₂ = 9

(х + 1/х − 3)² = 9

(х + 1/х − 3)² − 9 = 0

(х + 1/х − 3 − 3)(х + 1/х − 3 + 3) = 0

х + 1/х − 3 − 3 = 0            х + 1/х − 3 + 3 = 0

х + 1 – 3(х – 3) = 0        х + 1 + 3(х – 3) = 0

х + 1 – 3х + 9 = 0          х + 1 + 3х – 9 = 0

–2х + 10 = 0                  4х – 8 = 0

–2х = –10                       4х = 8

Ответ: 2; 5; 7 − 4$$\sqrt{2}$$; 7 + 4$$\sqrt{2}$$